0.- Introducción
La teoría de la probabilidad es una de las ramas de la matemática con mayor aplicación práctica. Es una disciplina que busca rendir cuenta matemáticamente de la incertidumbre.
Abordarla en perspectiva conjuntista, es decir, echando mano del lenguaje de la teoría de conjuntos, permite expresar con ejemplar claridad las nociones fundamentales de la misma. Como herramienta para la vida, permite mesurar y comprender una importante variedad de fenómenos de la vida cotidiana, y no sólo de la ciencia y la industria.
1.- Probabilidad, espacio muestral y evento
La probabilidad se puede definir intuitivamente como la medida de la posible ocurrencia de un evento.
Llamamos “espacio muestral” al conjunto de todos los posibles resultados en un experimento. Por su parte, llamamos “evento” a un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, si tenemos un dado de 20 caras, el espacio muestral sería:
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Y si plateáramos el evento “sacar un número par mayor que 4 pero menor que 12”, el evento sería:
E={6, 8, 10}
Como se ve, E es subconjunto de Ω.
Al tener más de un elemento, se dice que E es un evento compuesto. Si tuviera un único elemento, sería un evento simple.
2.- Álgebra de conjuntos
En línea podemos encontrar abundante información sobre este punto, pero haremos un espacio para repasar algunas operaciones básicas entre conjuntos. La relevancia de esto radica en que, como habremos notado, los conceptos básicos de la teoría la probabilidad – e.g. los de «espacio muestral» y «evento» – pueden definirse de manera conjuntista. Luego, las operaciones a recordar son:
3.- Enfoques sobre la probabilidad
Para este subtema, puede aprovecharse el video “Enfoques para calcular probabilidades”[1]. De acuerdo con la tradición, la teoría de la probabilidad se cimienta teóricamente en 3 enfoques: a) el enfoque clásico; b) el enfoque frecuentista; y c) el enfoque subjetivo.
El enfoque clásico (o “a priori”) se distingue por asignar la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral y la probabilidad de se obtiene por razonamiento lógico entre el número de resultados en que es posible se obtenga el evento E (se suman la cantidad de elementos de E) y el número de todos los resultados posibles de ese experimento, es decir:
P(E) = #(E) / #(S)
Por su parte, el enfoque frecuentista (o “a posteriori”) supera las limitaciones del enfoque clásico, que se limita a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Este enfoque es empírico y no teórico. Requiere realizar el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.
Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se define la probabilidad de A por:
P(A) = n(A) / n
Donde A es un evento de un espacio muestral Ω y P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A.
Finalmente, el enfoque subjetivo se utiliza en situaciones en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. A diferencia de los dos enfoques anteriores que son objetivos y se sustentan en la teoría o en la experimentación, la probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes.
4.- Reglas de adición y producto
Para el tema de la regla de la adición y regla del producto puede aprovecharse como recurso de aprendizaje el vídeo “Probabilidad: Reglas de Adición y Multiplicación. Independencia”[2].
Bajo un enfoque conjuntista, la regla de la adición expresa que para dos eventos mutuamente excluyentes (aquellos para los cuales su intersección es vacía), la probabilidad de un evento es la unión de los subconjuntos pertinentes del espacio muestral, es decir, la suma de las probabilidades de los eventos:
P(A U B) = P(A) + P(B)
Así mismo, si esos eventos son colectivamente exhaustivos, entonces la probabilidad de la unión es igual al conjunto universo, es decir, es igual a 1.
En general, la regla de la adición establece que si tenemos una serie de eventos mutuamente excluyentes – los que no pueden ocurrir al mismo tiempo, vaya – la probabilidad de la unión de estos eventos es igual a la suma de probabilidades de los eventos individuales.
En caso de que la intersección no sea vacía, entonces habría que restarle a probabilidad de la unión la probabilidad de la intersección. Luego,
P(A U B) = [P(A) + P(B)] – P(A ∩ B)
Por otra parte, tenemos las reglas de la multiplicación. Para comprenderlas debemos partir del concepto de “independencia”. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta para nada la probabilidad de ocurrencia del otro. De ello se sigue que la probabilidad conjunta de ellos (la probabilidad de que ambos ocurran) es:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
5.- Permutaciones y combinaciones
Para concluir, en materia de permutaciones y combinaciones puede aprovecharse como recurso para el aprendizaje (para esto y mucho más) la Encyclopedia of Mathematics[3].
Así pues, una permutación de n elementos es una secuencia finita de longitud n, esto es, una permutación es un arreglo de n elementos sin repeticiones. Para calcular permutaciones, representamos como nPk el número de arreglos ordenados de k elementos distintos seleccionados de un conjunto X con n elementos:
nPK=n x (n-1) x (n-2) x … x (n-k+1)
En notación factorial, podemos expresar el cálculo de permutaciones como
Las combinaciones de n objetos (o cosas) distintos tomando k de ellos a la vez, representan el número de subconjuntos diferentes de tamaño k que se pueden obtener con esos n objetos.
En otras palabras, una combinación es un subconjunto de cardinalidad n de un conjunto finito de cardinalidad m. El número de combinaciones de n elementos de m se representa nCm y es igual a:
Para finalizar, dejo esta entrada en formato .pdf para descargar aquí, documento en el que al final organizo esta información a manera tabla-resumen.
[1] Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=lXsMmYXe3kg
[2] Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=3kGnl7daAF4
[3] URL: https://www.encyclopediaofmath.org/
¡Gracias por leer!
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