Las contribuciones de los lógicos y matemáticos de finales del siglo XIX y principios del XX dan estructura formal y matemática a la lógica[i], fundando lo que hoy conocemos como “lógica clásica” e introduciendo como ingrediente de la misma al principio Ex Contradictione Sequitur Quodlibet (ECSQ, de aquí en adelante), al que también podemos llamar “principio de explosión”, y que es una propiedad de la relación de consecuencia lógica según la cual a partir de una contradicción, se sigue cualquier cosa como consecuencia deductiva.

Siguiendo a Shapiro y Kouri Kissel (2018, p. 11), el principio de explosión o Ex Contradictiones Sequitur Quodlibet o, simplemente, Ex Contradictione Quodlibet[ii] (que en español quiere decir que “de una contracción se sigue lo que sea”), puede ser expresado desde un punto de vista formal como una regla de inferencia deductiva de la siguiente forma:

Si Γ₁⊢θ y Γ₂⊢¬θ, entonces Γ₁, Γ₂⊢ψ

Donde Γ₁ y Γ₂ son conjuntos de proposiciones, θ es una proposición y ψ es otra proposición cualquiera distinta de θ y su negación[iii] consecuencias explosivas en la lógica clásica: de una contradicción se deduce lo que sea.

Este hecho tiene como consecuencia la trivialización del conjunto de premisas Γ (i.e. una teoría). Puesto que el conjunto de premisas contiene al menos un par de proposiciones contradictorias, de ella se puede deducir lo que sea, incluida la afirmación de que “Γ es verdadera” por virtud de la explosividad de la relación de consecuencia lógica, lo que, en todo caso, significa que Γ es trivialmente verdadera.

El accionar de la lógica proposicional clásica está patentemente infundido del principio ECSQ. Esto lo mostraré planteando un ejemplo. Consideremos las siguientes proposiciones:

1. Si la posición de una partícula en el espacio se conoce en todo momento, entonces el movimiento de la partícula se conoce por completo[iv].
2. La posición de una partícula se conoce en todo momento y no es el caso que el movimiento de la partícula se conoce por completo.

• Por lo tanto, podemos conocer la velocidad de una partícula.

En esta colección de proposiciones tenemos que i y ii son premisas y iii es la conclusión. Si formalizamos esto en el lenguaje de la lógica proposicional, notaremos que el argumento es trivialmente válido. El proceso de verificación de dicha validez es el siguiente: primero se formalizan todas las proposiciones; después se conjuntan las premisas; posteriormente esa conjunción es tomada como antecedente de una condicional cuyo consecuente será la conclusión; finalmente se obtiene la tabla de verdad de todo el argumento expresado como condicional. Si lo que se obtiene es una tautología, es decir, la condicional es verdadera en todos los casos posibles, entonces el argumento es válido.

Sin embargo, lo que se demostrará a continuación es que, dado que i y ii son contradictorias, la condicional que se forme con su conjunción como antecedente será siempre verdadera en virtud de las características del operador “condicional” en lógica clásica[v]. Esto supone que el argumento formado por i, ii, y iii es trivialmente válido y, por lo mismo, toda teoría Γ que contenga a i y ii será trivialmente verdadera, pues cualquier cosa se sigue de una contradicción. Veamos:

Paso 1. Sea:

A= “La posición de una partícula en el espacio se conoce en todo momento”

B= “El movimiento de la partícula se conoce por completo”

C= “Podemos conocer la velocidad de una partícula”.

Paso 2. Completamente formalizadas, las proposiciones quedan:

1. A–>B
2. A∧¬B

• .·.C

Paso 3. Formemos una conjunción con las premisas (i y ii):

(A–>B)∧(A∧¬B)

Paso 4. Ahora formemos una condicional, tomando la conjunción de 3 como antecedente y iii como consecuente:

[(A–>B)∧(A∧¬B)]–>C

Paso 5. Obtengamos la tabla de verdad de la condicional formada en 4:

A	B	C	¬B	A–>B	A∧¬B	(A–>B)∧(A∧¬B)	[(A–>B)∧(A∧¬B)]–>C
V	V	V	F	V	F	F	V
V	V	F	F	V	F	F	V
V	F	V	V	F	V	F	V
V	F	F	V	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F	F	V
F	V	F	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	F	F	V
F	F	F	V	V	F	F	V

Donde V= valor de verdad “verdadero” y F=valor de verdad “falso”.

Si observamos en la tabla, la condicional “[(A–>B)∧(A∧¬B)]–>C” resulta verdadera en todos los casos. En vista de que: 1) dado que las premisas “A–>B” y “A∧¬B” son contradictorias (cuando una es verdadera en la tabla, la otra es falsa y viceversa); 2) La relación de consecuencia lógica es explosiva, la conclusión “C” se sigue sin problemas de las premisas, pero en un modo en el que igualmente se puede seguir cualquier otra cosa. Esto lo podemos verificar si, por ejemplo, en vez de que a conclusión fuera “C”, la conclusión fuera “¬C”. Sustituyamos iii por:

1. Por lo tanto, no podemos conocer la velocidad de una partícula.

Las proposiciones formalizadas ahora serían:

1. A–>B
2. A∧¬B

• .·.¬C

Y repitiendo los pasos 3 a 5 anteriores, obtendríamos la tabla:

A	B	C	¬C	A–>B	A∧¬B	(A–>B)∧(A∧¬B)	[(A–>B)∧(A∧¬B)]–>¬C
V	V	V	F	V	F	F	V
V	V	F	V	V	F	F	V
V	F	V	F	F	V	F	V
V	F	F	V	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F	F	V
F	V	F	V	V	F	F	V
F	F	V	F	V	F	F	V
F	F	F	V	V	F	F	V

Como se observa en esta segunda tabla, de nuevo la proposición condicional final es una tautología, es decir, es verdadera en todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus componentes. Lo cual implica que toda teoría Γ que contenga i y ii, será trivialmente verdadera pues al existir una contradicción interna en Γ, cualquier cosa se seguirá como consecuencia lógica por operación del principio ECSQ. Así, por ejemplo, si la conclusión fuera “Γ es verdadera”, Γ sería verdadera, pero sólo trivialmente.

 

El principio lógico de no-contradicción

Entonces, por influencia de la lógica clásica, las contradicciones son tradicionalmente concebidas como fallos en la racionalidad. Si se atribuye a las relaciones lógicas la propiedad de ser explosivas, es decir, si se asume que Ex Contradictione Sequitur Quodlibet, entonces la ocurrencia de una contradicción da lugar a la trivialización de una teoría (pues de ella – entendida como colección de proposiciones[vi] – se obtiene cualquier proposición como consecuencia deductiva) Esto vuelve necesaria la elucubración de un mecanismo “de control”, o más bien de un nuevo principio o ley que lógicamente establezca que incurrir en contradicciones es un error. En ese tenor, surge el principio de no-contradicción, mismo que en la tradición filosófica es habitualmente presentado como un principio lógico fundamental[vii] (inspirado en el célebre principio de identidad de Parménides de Elea[viii]) que puede formularse de la siguiente manera en el lenguaje natural:

“Si tienes una proposición y su negación, no pueden ambas ser verdaderas a la vez”

Correspondientemente, este principio puede ser expresado en lógica proposicional del siguiente modo, para una proposición P cualquiera:

¬(P∧¬P)

Donde “P” es una proposición cualquiera y “¬P” es su negación. Ejemplifiquemos este principio, considerando las siguientes proposiciones del lenguaje natural:

• Está lloviendo.
• No está lloviendo.

Como se puede ver, ambas proposiciones son contradictorias. En concreto, 2 es la negación de 1. Según el principio de no contradicción, ambas proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez. Veámoslo simbolizándolas y haciendo sus tablas de verdad.

Paso 1. Sea:

P= “Está lloviendo”

¬P= “No está lloviendo”

Paso 2. Tabla de verdad:

P	¬P
V	F
F	V

Donde V= valor de verdad “verdadero” y F=valor de verdad “falso”.

Como se observa en la tabla, cuando “P” es verdadera, “¬P” es falsa, y viceversa. No es posible que “P” sea verdadera a la vez que “¬P” también lo sea. Esto se puede verificar si intentamos conjuntarlas. Como recordaremos, la propiedad de la conjunción clásica (∧) es la de ser verdadera únicamente cuando ambas partes que la conforman son verdaderas y falsa en el resto de los casos. Puesto que “P” y “¬P” nunca tienen al mismo tiempo el valor de verdad “V”, el resultado de dicha conjunción habrá de ser una contradicción. Observémoslo:

Paso 3. Formemos una conjunción con las proposiciones simbolizadas en el paso 1. Esta quedaría:

P∧¬P

Paso 4. Obtengamos la tabla de verdad de dicha conjunción:

P	¬P	P∧¬P
V	F	F
F	V	F

En efecto, la conjunción de ambas proposiciones resulta en una contradicción, es decir, es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es “F” en todos los casos posibles. De esto se puede intuir que la negación de dicha conjunción habrá de ser una tautología.

Veamos:

Paso 5. Neguemos la conjunción planteada en el paso 3:

¬(P∧¬P)

Paso 6. Obtengamos la tabla de verdad de la anterior negación:

P	¬P	P∧¬P	¬(P∧¬P)
V	F	F	V
F	V	F	V

Y, con esto, hemos expresado simbólicamente el principio lógico de no-contradicción. En efecto, la intuición filosófica detrás de este principio fundamental es que nada puede ser y no ser a la vez. No es posible que una proposición sea el caso y, al mismo tiempo, no sea el caso. Para el ejemplo en cuestión, no es cierto que llueve y, al mismo tiempo, no llueve.

NOTAS: 

[i] Hablamos aquí de contribuciones como las de Boole, Frege, Russell, Hilbert, Ackermann, por mencionar algunos (Carnielli y Coniglio, 2016, p. 2; Priest, Tanaka y Weber, 2018, p. 3).

[ii] Carnielli y Coniglio (2016) llaman al principio “Ex Contradictione Sequitur Quodlibet”, que es la forma que utilizaré preferentemente en este trabajo por ser la que expresa con mayor precisión y literalidad su contenido. Pero la versión más corta (eliminando “sequitur”) es también utilizada y aceptada. Por ejemplo, así la usan Priest, Tanaka y Weber, 2018. Del mismo modo, Carnielli y Coniglio (2016, p. 2) nos advierten que ECSQ a menudo recibe otras denominaciones como “Ex Falso Quodlibet” – y así lo hacen, por ejemplo, Shapiro y Kouri Kissel (2018) – pero con ello se corre el riesgo de confundir dos principios lógicos distinguibles. Naturalmente, no es objeto de este trabajo adentrarse en mostrar la posibilidad de hacer tal distinción, sino que me limito a advertir al lector de que existe la costumbre en la literatura de referirse con diversos nombres a lo que aquí me refiero como ECSQ.

[iii] Quizá sea oportuno destacar que esto supone una regla previa de “asunción” según la cual si ϕ∈Γ, entonces Γ⊢ϕ. Esto es, si una proposición forma parte de un conjunto determinado de proposiciones, entonces esa proposición es consecuencia lógica del conjunto de proposiciones al que pertenece. Véase, Shapiro y Kouri Kissel (2018, p. 9).

[iv] Esto es un principio general de la mecánica clásica. Véase, Serway y Jewett (2008, p. 20).

[v] A saber: una condicional es verdadera siempre que su antecedente sea falso o su consecuente verdadero, y falsa en todos los demás casos.

[vi] Cabe advertirse que cuando hablo aquí de “teoría” como conjunto de proposiciones, lo hago por economía expositiva y estrictamente desde un punto de vista lógico, pero dejando a salvo todas las precisiones que acertadamente tengan lugar desde la filosofía de la ciencia y, en particular, siendo consciente de lo que en esta línea se tendría que decir desde un estructuralismo como el de Kuhn o Lakatos.

[vii] En esta línea, véase a manera de ejemplo, más no de modo exclusivo, Escobar Valenzuela (2006, p.12).

[viii] Recordemos que, según una interpretación muy difundida entre los filósofos (que podemos encontrar adecuadamente planteada en García Morente, 2004, pp. 75-77, 79 y ss.), Parménides de Elea formula – en oposición a las ideas de Heráclito de Éfeso, el “filósofo del devenir” – su famoso principio de identidad con el que establece que “lo que es, es; y lo que no es, no es”. Heráclito, según el canon filosófico, sugirió que el verdadero ser de las cosas yace en el cambio, idea que queda cristalizada en la frase “no nos podemos bañar dos veces en el mismo río”, que tan a menudo se le atribuye. Parménides no parece estar cómodo con la postura metafísica de Heráclito del ser como constante fluir, como devenir, como constante estar siendo y dejando de ser y, en respuesta, señala que lo que es no puede, a la vez, no ser. Esa respuesta de Parménides supone, sin duda, una de las mayores contribuciones filosóficas de la historia, por su gran relevancia tanto para la metafísica, como para la lógica. Es claro, me parece, que la lógica y la racionalidad modernas son deudoras de Parménides en una medida sustancial, al ser él quien por primera vez expresa de modo articulado una suerte de “proscripción de toda contradicción”, instituyéndolas como amenazas a la racionalidad y la inteligibilidad del mundo.

REFERENCIAS:

• Carnielli, W. y Coniglio, M.E. (2016). Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation. Suiza: Springer.
• Escobar Valenzuela, G. (2006). “Razonamiento Lógico”. En Conocimientos fundamentales de filosofía, vol. 1, E. di Castro (coord.). México: UNAM – McGraw Hill.
• García Morente. M. (2004). Lecciones preliminares de filosofía. Buenos Aires: Losada.
• Priest, G., Tanaka, K. Y Weber, Z. (2018). «Paraconsistent Logic». En The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (ed.). Disponible en línea en <https://plato.stanford.edu/archives/sum2018/entries/logic-paraconsistent/&gt;.
• Serway, R. y Jewett J. (2008). Física para ciencias e ingeniería, vol. 1. México: Cengage Learning.
• Shapiro, S. y Kouri Kissel, T. (2018). «Classical Logic». En The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (ed.), Disponible en línea en <https://plato.stanford.edu/archives/spr2018/entries/logic-classical/&gt;.